AEDITEC.


INTRODUCCIÓN.

De igual forma que en Geometría Métrica Plana hablamos de dos elementos fundamentales: el punto y la recta, en Geometría del Espacio los elementos fundamentales son tres: punto, recta y plano.

El plano se define como una superficie tal que toda línea real que tenga dos puntos en dicha superficie estará totalmente contenida en ella.

Un plano se determina:

- Por una recta y un punto exterior.

- Por tres puntos no alineados.

- Por dos rectas que se cortan.

- Por dos rectas paralelas.

 

Postulados de posición:

Los dos primeros corresponden a la G. M. Plana, siendo necesario incorporar los otros dos para el desarrollo de la Geometría del Espacio.

1.- Dos puntos determinan una sola recta.

2.- Dos rectas coplanarias distintas se cortan en un solo punto.

3.- Una recta y un plano definen un solo punto conocido como punto de intersección (propio o impropio) o traza de la recta y el plano.

4.- Si una recta tiene dos puntos comunes con un plano, todos los puntos de la rectapertenecen al plano.

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PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD.

PROYECCIONES SOBRE UN PLANO.

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PARALELISMO.

Recta y plano paralelos:

Una recta y un plano son paralelos cuando se cortan únicamente en el punto impropio.

La condición necesaria y suficiente para que una recta sea paralela a un plano es que lo sea a una recta cualquiera del plano.

Planos paralelos:

La condición necesaria y suficiente para que dos planos sean paralelos es que uno de ellos contenga dos rectas paralelas a l otro no siendo paralelas entre si.

Teoremas sobre paralelismo:

1.- Si por una recta paralela a un plano se hace pasar un segundo plano que corte al inicial,la intersección de estos dos planos es una recta paralela a la primitiva.

2.- Si dos planos paralelos son cortados por un tercero, las intersecciones son dos rectas paralelas.

3.- Si dos rectas son paralelas, todo plano que corte a una de ellas corta también a la otra.

4.- Si dos planos son paralelos:

- Toda recta que corta al primero corta tambén al segundo.

- Todo plano que corta al primero corta también al segundo.

5.- La intersección de dos planos paralelos a una misma recta es otra recta también paralela a ella.

6.- Si dos planos paralelos cortan a dos recta también paralelas, los segmentos intersectados de la recta son iguales.

7.- Si dos rectas cualesquiera son cortadas por un haz de planos paralelos, los segmentos definidos entre los planos son proporcionales.

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PERPENDICULARIDAD.

Recta y plano perpendiculares:

Una recta es perpendicular a un plano cuando lo es a todas las rectas de dicho plano.

La condición necesaria y suficiente para que una recta sea perpendicular a un plano es que lo sea a dos rectas no paralelas del plano.

Planos perpendiculares:

La condición necesaria y suficiente para que dos planos sean perpendiculares es que uno de ellos contenga una perpendicular al otro.

Teoremas sobre perpendicularidad:

1.- Si dos rectas son paralelas, todo plano perpendicular a una de ellas lo es también a la otra. De igual forma, si dos planos son paralelos, toda recta perpendicular a uno de ellos lo es también al otro.

2.- Si una recta es perpendicular a un plano, toda perpendicular a esta recta es paralela al plano o está contenida en él.

3.- Si dos planos P y P´ son perpendiculares a un tercer plano Q, su intersección también lo es.

4.- Teorema de las tres perpendiculares: si por el pie O de la perpendicular a un plano se traza de nuevo la perpendicular r a una recta cualquiera s del plano. La recta r´que une el pie de esta segunda perpendicular con un punto cualquiera A de la recta primitiva, es también perpendicular a la recta elegida del plano.

5.- Si una recta es perpendicular a un plano, todo plano que contenga a dicha recta, o sea paralelo a ella, es perpendicular al plano inicial.

6.- Por una recta oblícua a un plano, sólo se puede trazar conteniéndola, un plano perpendicular al dado.

7.- Si dado un punto exterior a un plano se trazan la perpendicular al mismo y diversas oblicuas, se obtienen las siguientes consecuencias:

- Dos oblicuas cuyos pies distan lo mismo del pie de la perpendicular son iguales.

- La perpendicular es la más corta.

- De dos oblicuas que se alejen distinto, es mayor la que tenga mayor distancia del pie de la perpendicular.

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PROYECCIONES SOBRE UN PLANO.

Se llama proyección de un punto sobre un plano a la intersección del rayo proyectante que pasa por el punto con el plano.

El rayo proyectante puede ser normal (perpendicular) u oblicuo con el plano.

Las proyecciones a su vez pueden ser de dos tipos: cónicas o cilíndricas.

Proyecciones cónicas:

Se llama proyección cónica de un punto A respecto de otro V, llamado vértice de proyección, a la intersección A´ con el plano de proyección de la recta que partiendo de V pasa por A.

La proyección cónica de un segmento AB se obtendrá con la proyección cónica de dos de sus puntos.

Proyecciones cilíndricas:

Definida una dirección r y un plano P, la proyección cilíndrica de un punto A se obtiene por la intersección A´con el plano de proyección de la recta paralela a la dirección dada que pase por el punto A.

La proyección cilíndrica se denomina ortogonal cuando la dirección de proyección es perpendicular al plano de proyección.

- Propiedades de las proyecciones cilíndricas:

1.- La proyección de una línea recta sobre un plano es otra línea recta.

2.- Las proyecciones de dos rectas paralelas sobre un plano son a su vez dos rectas también paralelas.

3.- Si dos rectas son perpendiculares en el espacio sus proyecciones sobre un plano paralelo a una de ellas son también perpendiculares.

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